Välj ämne och tag
Ämne
Språk
Tema
Ämnen
Kom igång!

Så kan matematik ge bättre livskvalitet

Språk: Svenska
Publicerad: torsdag 5 september 2013
Redigerad: onsdag 25 september 2013
x comments
Samhälle kultur matematik utbildning
0 2315 visningar
Filter
Artikeln har inga översättningar

Arne Söderqvist om Matematik

Pensionerad matematiklärare (KTH): Vissa grundläggande matematikkunskaper kan faktiskt vara berikande genom att man uppfattar flera nyanser i tillvaron och ser saker ur nya synvinklar.

 

Många tenderar att betrakta matematik som någonting som saknar alla former av kulturella beröringspunkter. Inte minst från företrädare för historia, konst och litteratur kan man få höra att matematik snarast är motsatsen till dessa ädla ämnen, som de själva uppfattar som en del av kulturens kärna. Varför inte matematik också skulle ingå i denna är tämligen obegripligt.

Under senare tid har det publicerats flera artiklar i media med budskapet att matematik endast är av betydelse i så triviala sammanhang som när det gäller att ha uppsikt över lönekontot eller att kontrollera växelpengarna man får tillbaka i en snabbköpskassa. Debattörerna har därmed dragit slutsatsen att redan grundskolelever påtvingas alldeles onödigt mycket matematik. Debattörerna utgår naturligtvis från den egna erfarenheten. De har alla en hygglig karriär bakom sig och betraktas kanske tom. som några av ”samhällets stöttepelare”. Det förekommer dessutom ett snobberi som går ut på att man minsann lyckats i livet och nått en god samhällsposition trots stora svårigheter med skolmatematiken. Men debattörerna marknadsför ett synnerligen olyckligt budskap genom att framhäva sig själva som norm för andra att efterlikna. De som har annan uppfattning om matematikens betydelse bereds så gott som aldrig något medialt utrymme. Man må vara matematiklärare eller matematikprofessor. Man tycks i båda fallen bli reflexmässigt refuserad av redaktörerna.

Högst deprimerande har det också varit när det i det populära TV-programmet ”På spåret”, till och med vid två tillfällen, ställts frågan om innebörden av Pythagoras sats och ingen av de tävlande någon gång förmått avge ett korrekt svar. De tävlande är inte ”vanliga människor”, utan ”kändisar” som ofta agerar förebilder för andra. Dessutom uttryckte domaren i programmet att han ansåg att ”frågan var mycket svår” och läste för säkerhets skull upp det korrekta svaret som fanns till hands nedskrivet på papper. Han tvekade inte att antyda att han själv egentligen inte förstod innebörden av detsamma. Det är synnerligen olyckligt när ett TV-program med sådan genomslagskraft får förringa matematiken på det viset.

Antagligen inser till och med de mest matematikföraktande debattörerna att tex. ingenjörer behöver kunna litet matematik. Man håller därmed fast vid nyttoaspekten på ämnet och betraktar det som ett hjälpämne för studier av andra, ”nyttiga”, ämnen. Endast en liten skara skulle alltså behöva djupare kunskaper i ämnet än vad som krävs i det vardagliga livet. Samtidigt antyder man allt som oftast att ungdomar som intresserar sig för matematik är ”udda” och en aning onormala. Förr ingav prestationer i matematik en viss respekt, men numera mest förundran.

Jag har aldrig sett någon hävda att en matematisk allmänbildning kunde ge ökad livskvalitet. ”Gullviva, mandelblom, kattfot och blå viol” finns enligt Evert Taubes visa med bland ängens blommor. Känner man igen blommorna och vet vad de kallas får man en rikare naturupplevelse än om man bara vet att det är fråga om just ”blommor”. Den som hör ett musikstycke och känner igen detta och kanske till och med vet vem kompositören är lyssnar intensivare och får en större musikalisk behållning än personer som bara konstaterar att det är ”musik” som hörs. Att rusa igenom ett museum och bara konstatera att där finns diverse gamla föremål, utan att förstå något om deras sammanhang, får ringa behållning av sitt museibesök. Jag hävdar att även vissa grundläggande matematikkunskaper faktiskt kunde vara berikande genom att man uppfattar flera nyanser i tillvaron och får möjlighet att se saker ur nya synvinklar. Några matematiklärare på KTH arrangerar emellanåt "matematikpromenader" i Stockholm med avsikten att peka på många olika saker med anknytning till matematik. Förvisso leder dessa promenader till vidgat synsätt och nya upplevelser. Jag rekommenderar starkt dessa matematikpromenader!

Många tenderar att betrakta matematik som någonting som saknar alla former av kulturella beröringspunkter. Inte minst från företrädare för historia, konst och litteratur kan man få höra att matematik snarast är motsatsen till dessa ädla ämnen, som de själva uppfattar som en del av kulturens kärna. Varför inte matematik också skulle ingå i denna är tämligen obegripligt. Någon motivering har jag faktiskt aldrig hört. Det vore en god idé att fundera på hur samhället hade varit om den matematiska utvecklingen avstannat vid någon tidpunkt. Vad dagens matematikforskning kommer att ge är förstås något framtiden får utvisa. I många fall kommer det antagligen att visa sig i en avlägsen framtid.

Något som länge stört mig är den andefattighet som i stor utsträckning råder beträffande stimulansen av framgångsrika skolelever. Oftast får de ingen annan stimulans än den att läraren erbjuder dem att få räkna ur en bok avsedd för nästa skolår. En fullkomligt naturlig reaktion vore att tappa gnistan, vilket antagligen också är det vanligaste. Jag har i åtskilliga artiklar och skrivelser kommit med förslag till hur framgångsrika elevers matematikintresse kunde stimuleras. Jag menar inte att mina idéer nödvändigtvis måste genomföras. Jag skulle dock vilja ha en debatt med någon av dem som har inflytande över skolmatematiken. Jag har aldrig fått något svar eller ens någon kort kommentar. De styrande är, som Peer Gynt, sig själva nog. Jag har en stark känsla av att man värjer sig och betraktar synpunkter utifrån som ett hot. Jag har också en stark känsla av att det finns ett rejält inslag av nepotism i samband med rekryteringen av medlemmar till kretsen av matematikansvariga inom skolväsendet.

 


Denna artikel var publicerad på Newsmill 2012-07-29 och fick följande kommentarer:

 

Håller med dig till 100 %. Men referensen till "domaren" i På spåret", Fredrik Lindström, är litet irrelevant. Det är en man som, som tävlande, inte kunde namnet på Australiens huvudstad, inte kände igen stjärnbilden Södra korset och som domare meddelade att USA:s nationalsång heter "The Starsp*r*angled banner." Att han inte känner till Pythagoras sats är ingen överraskning.

Permalänk | Anmäl #1 Bengt O. Karlsson, 2012-07-29, 16:53


Det jag beskrev beträffande "På spåret" hände två gånger under den tidigare domarens, Björn Hellbergs, tid. Första gången var det tre tävlande i varje lag. Andra gången bestod varje lag av två tävlande.
Bland de tävlande första gången fanns ett "nyhetsankare" från "Aktuellt". Andra gången var det ett känt "sportankare" från SVT med i ena laget. Sådana personer bör inge förtroende hos tittarna, men enligt min mening blev detta minst sagt naggat i kanten av det inträffade.

Permalänk | Anmäl #2 Arne Söderqvist, 2012-07-29, 18:18


Kunskapsforaktet är ett stort problem, inte endast i skolan. Då jag har stott på så många lärare i den svenska skolan som har haft som ambition att stoppa duktiga elevar ifrån att sudera vidare med motiveringen att de skulle komma så långt fore sina kamrater, så gissar jag att det är något som i alla fall har formedlats på de svenska lärarhogskolorna. Lärarens uppgift är att ge alla elever den stimulans de behover for att utvecklas vidare. Det sker ytterst sällan då det gäller duktiga och intresserade elever. Det är klart att de då trottnar. Jag hade en klasskamrat i gymnasiet som fick två tvåor i betyg i svenska med motiveringen att han kunde allt sedan tidigare och inte arbetade tillräckligt hårt på lektionerna. I mina ogon är det ett absurt synsätt men uppenbarligen var det inte det for dåtidens lärare. Det borde ha ändrats med tanke på de mål och kunskapsrelaterade betygen, men de gamla ideerna lever nog kvar hos somliga ännu. Han bytte skola i tredje ring och fick givetvis hogtsta betyg även i svenskämnena.

En kulturell foretelse som musik placerades redan på 500- talet tillsammans med aritmetik, geometri och astronomi i Quadrivium av Boethius och Cassiodorus. Den klassiska grekiska konsten var utformad efter matematiska regler. Även versmåtten är matematiska och renessanskonstnärer som Michelangelo och Da Vinci var lika mycket ingenjorer som konstnärer. Michelangelo var till och med ansvarig for ett vägbygge vid ett tillfälle och flera andra ingenjorsuppdrag. Det fanns ingen skillnad mellan ingenjors och konstnärsyrket på den tiden. Det tidigaste svenska ordet for ingenjor var konstmästare. Ord som ingenjorskonst, konstgjord, byggnadskonst, konstruktiv med flera ord tyder på att begreppet från borjan bettydde en formåga att skapa, inte endast måleri och skulptur. Att vara konstnär betydde att man var kunnig i matematik, teknik och estetik i lika hog grad.

Hur detta har kunnat forsvinna ur medvetandet hos oss är besynnerligt då det är en ganska självklar insikt om man tänker på de stora konstnärer som har funnits genom historien. De var alla matematiskt och tekniskt kunniga. Så foraktet for dessa kunskaper visar endast hur okvalificerade dagens konstnärer är jämfort med de stora giganterna. Man borde undervisa i matematik på konstfack om man inte gor det. Det går inte att forstå konsthistoria eller de klassiska konstverken om man inte har den erfoderliga kunskapen.

Permalänk | Anmäl #3 Kristian Fredriksson, 2012-07-30, 01:50


Jag tackar för denna kommentar!

Matematikprofessor, numera emeritus, Tord Ganelius har skrivit om Quadrivium i sin klassiska bok "Introduktion till matematiken".

KTH har devisen "Vetenskap och Konst" i sin logotyp. Alltför många, även med höga positioner inom verksamheten, är frågande beträffande bakgrunden till detta.

Permalänk | Anmäl #4 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 05:23


Jag håller med om att det finns en mycket tråkig negativ attityd emot matematik i samhället och media.

Man har visat att matematik är det ämne som mest bestämmer om man kommer klara naturvetenskapliga studier (ingenjör, fysik, kemi, etc) på högskolan. Det visar sig att förkunskaperna i fysik, kemi och biologi inte har en avgörande roll ifall man skall bli framgångsrik i sina studier på högskolan. Däremot visade det sig att goda kunskaper i matematik var avgörande för att man skulle klara av högskole studierna. Så viktigt är matematik!

Matematik är ett sätt att tänka. Det ett filosofiskt sätt att beskriva verkligheten. Den som inte behärskar matematik kan heller inte beskriva verkligheten. Det mesta av det vi tar självklart i samhället är utvecklade med matematik - bilar, hus, broar, elektronik, flygplan, båtar, etc.

För att utveckla sin matematiska förmåga måste man träna, koncenterar sig och tänka. Det kan upplevas jobbigt och det är nog en orsak till att så många så gärna skulle slippa matematik. Men är det rätt att fly det som är jobbigt? Att träna fysiskt är också jobbigt, men det anses som nyttigt istället. Jag skulle vilja hävda att matematik också är nyttigt. Det gör att man lättare klarar av att analysera saker och förstå dem. Man klarar av abstrakt tänkande lättare och man förfinar sålunda sin mest värdefulla tillgång - hjärnan.

Det är vanligt att de som är duktiga på matematik också är mycket snabba att lära sig andra saker. De brukar t.ex. kunna lära sig andra språk mycket snabbt. Elever på matematiktunga skolor (tekniska gymnasier och högskolor) har också oerhört mycket kreativitet. Trots tunga studier och ont om tid, brukar de anordna student spex och student parader på stan. Så man kan inte hänvda att matematik skulle beröva folk från kultur, kreativitet och humor, tvärtom verkar det som det ökar.

Permalänk | Anmäl #5 Joachim Karlsson, 2012-07-30, 07:01


Måste väl tillägga att vi i Sverige har en alltför dålig matematikutbildning i grundskola och gymnasiet. Dels har vi lärare som inte fyller måttet. Dels är kursplanerna alltför begränsande. Man kan hålla på i ett helt läsår att bara hålla på att derivera. Sedan ett helt läsår att bara integrera. Mer variation än detta behövs!

Matematik är så stort och varierat och det finns så många områden som inte berörs under grundskola och gymnasium. Kurser som går i olika takt bör finnas för att låta alla få chansen att bli stimulerade i den takt och i den nivå som mest passar dem. Matematik är nog det ämne som är viktigast att anpassa till individens nivå, för att hitta rätt balans mellan stimulans och svårighetsgrad.

Lägg in mer teori i matematikundervisningen. Se till att de som går ut gymnasiet har lärt sig geometrin hos koniska sektioner, ytgeometri hos klot, geometriska serier, Laplace-transform, matriser, mm. En del av dessa saker är grundläggande saker som man inte skall behöva ödlsa tid på i högskolan, och andra är saker som är mycket nyttiga att kunna även på gymnasienivå. T.ex. för de som är intresserade av elektronik är Laplace-transform nödvändig för att man skall kunna ta ta fram och förstå elektriska kretsar, men det är även användbart för att förstå dynamiken hos mekaniska system (fjädrar hos bilar tex.).

Så mitt förslag är att man slutar med en tråkig, avskalad, minimal matematikundervisning, utan erbjuder eleverna kurser som är varierande. Läraren behöver en passion för matematik. Man bör inte undvika att beröra mer avancerade saker med rädsla att alla inte kommer att förstå allt till 100%, för det är också viktigt med variation och ge en bild av hur stort, intressant och varierat matematik egentligen är. Om man exponeras för mer avancerade saker i grundskola och gymnasie, kommer det sannolikt också bli lättare att förstå dessa i högskolan, där tempot är mycket högre och man i princip lär sig lika mycket på en vecka som man lär sig på ett år i gymnasiet.

Permalänk | Anmäl #6 Joachim Karlsson, 2012-07-30, 07:26


Problemet är politisk ideologi, i vårt vänstervridna Sverige.

För stora kunskapsklyftor anses vara farliga för folket. Så man kan ju inte tillåta någon att bli avsevärt duktigare än någon annan. Utom i idrott och musik, förstås. Att satsa på matematikbegåvningar har ansetts som farligt elittänkande.

Nedmonteringen började när utbildningsminister Palme blivit statsminister med LGR 69. När de eleverna som följt denna plan tagit sig igenom gymnasiet sjönk andelen rätta svar i ett diagnostiskt prov som de som började på Chalmers fick göra med ungefär 10%.

På nittiotalet var det dags igen. Man tog bort indelningen i allmän och särskild kurs, och när det var dags för dessa att börja på högskola så sjönk andelen rätta svar med ytterligare 10%.

Om dessa siffror finns att läsa i Avancons nummer 4, 2011.

Kunskapslyftet i all ära, men ska man lyckas få så många fler personer igenom högskolan måste man sänka kraven. Och det har man gjort.

Men frågan är, nu när man lyckats få bort begåvningarna, vem ska göra de uppfinningar som kan föra Sverige uppåt i välståndsligan och skapa arbetstillfällen?

Permalänk | Anmäl #7 Gunnar Claesson, 2012-07-30, 08:42


Laplacetransformation på gymnasiet är jag tveksam till. Det finns inga genvägar när det gäller att lära sig matematik.

Jag föreslår istället en matematisk översiktskurs där elementär talteori (tex. delbarhetsegenskaper hos heltalen) och algebra (grupper, ringar och kroppar osv.) fick ingå. Matematik är viktigt när det gäller att beskriva och modellera verkligheten. Med algebra modellerar man själva matematiken.

Permalänk | Anmäl #8 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 08:46


Människans hjärna är dålig på att hantera statistik. Det var inte något som var så viktigt i den miljö hjärnan utvecklades. Sedan dess har samhällena växt, så att bristen på förståelse av matematisk statistik blivit ett verkligt samhällsproblem, tänk finanskrisen.

Mera utbredda, åtminstone grundläggande, kunskaper i matematisk statistik skulle man kunna se som en kulturell kompensation för den mänskliga hjärnans ofullkomlighet.

Sedan delar jag skribentens uppfattning att matematikkunskaper ger ett annat, och "tryggare", förhållande till de materiella tingen runt oss. Matematikkunskaper kanske gör människor mera osäkra, men "osäkerhet" är en oerhörd förbättring mot "vilsenhet".

Permalänk | Anmäl #9 Bengt Jonsson, 2012-07-30, 09:38


Den amerikanske professorn Arthur Benjamin föreslår att man har statistik som utgångspunkt inom matematikundervisningen. Det är jag mycket tveksam till.

Inom alla grundkurser i statistik och sannolikhetsteori tar man av hävd genvägar utan att förklara vad man egentligen gör. Så behövde det inte gå till, men alla böcker i hela världen tycks vara upplagda på samma sätt. Det är först på ganska avancerade fortsättningskurser man får viss förståelse för vad man håller på med.

http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_s_formula_for_changing_math_edu...

Permalänk | Anmäl #10 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 10:00


När det gäller statistik så tror jag att det vore mycket nyttigt för demokratin om gemene man hade grundläggande kunskaper.

Det har sagts att det finns lögn, förbannad lögn, och statistik.

Jag har några favoritexempel för att visa hur lätt det är att missförstå, här är ett av dem.

Män, som onanerar ofta, får oftare prostatacancer än män som onanerar sällan.

Detta påstående är helt sant, det finns ett bevisat statistiskt samband. Men om kyrkan & co jublar över detta samband, så har de ropat hej innan de är över bäcken.

Fällan ligger i att sambandet inte är kausalt, dvs det finns inget orsak-verkan samband. Förklaringen ligger i stället i testosteronhalten. Män med högre testosteronhalt har högre könsdrift och onanerar därför oftare, samtidigt som hög testosteronhalt bidrar till ökad förekomst av prostatacancer.

I själva verket är det tvärt om, onanin minskar risken för prostatit vilket i sin tur kan minska risken för cancer något.

Men utan utbildning så tänker inte alla så långt, och detta gäller även journalisterna som skriver om det. En journalist skulle till och med kunna sätta "onani orsakar cancer" i feta bokstäver på förstasidan.

Lägg till detta det stympade diagrammet och val av tidpunkt för att visa utvecklingen av en aktiefond jämfört med andra fonder, till exempel. Två konkurrenter kan samtidigt publicera diagram där båda "bevisar" att de själva är bättre än konkurrenten.

Ytterligare ett exempel är cherrypicking. Ett läkemedelsföretag kan göra 10 studier om ett preparat, där 9 av dem visar på ingen eller dålig effekt, men den 10:e visar på en faktisk nytta. Vilka studier tror ni publiceras, och vilka hamnar i papperskorgen?

Som sagt, det finns lögn, förbannad lögn, och statistik. Och folket behöver utbildning så att de inte trillar i fällorna.

Eller vill inte politikerna ge folket utbildning? Det kanske är bättre med outbildad boskap som beter sig som politikerna vill?

Permalänk | Anmäl #11 Gunnar Claesson, 2012-07-30, 10:57


Är det inte samma inställning till teknik. Att vara tekniker är inte lika fint som att vara aktiv inom konst och kultur. Undertecknad är utbildad till maskintekniker och dessutom studerat kulturhistoria och konstvetenskap, står med båda benen inom båda "lägren" och kan lätt notera den snobbiga attityd många har till teknikämnet. I nyhetsförmedlingen ser man direkt hur bristen på teknisk kunnande bidrar till dåliga och felaktige slutsatser i reportagen.

Det lustiga är att många som saknar tekniskt kunnande inte heller verkar vara så kunniga inom konst och kultur.

Permalänk | Anmäl #12 Alvin Stoltz, 2012-07-30, 11:17


Det finns nog ingen bättre metod att beskriva fysikaliska fenomen med än att använda matematik. Matematiken är så allmängiltig att samma matematik mycket väl kan beskriva både ekonomi och termodynamik. Ett exempel på detta är den sk. värmeledningsekvationen, som både beskriver hur värme leds i ett material och hur optioner bör värderas.

Maxwell formulerade elektromagnetismen med hjälp av matematik. Hans ekvationer visade att radiovågor antagligen skulle existera, vilket också senare bekräftades.

Det råder en interaktivitet mellan matematisk teori och andra ämnesområden. Fysiken har haft frågeställningar som krävt "ny" matematik, som sedan många gånger kastat loss från fysiken och utvecklats ytterligare. Detta hindrar naturligtvis inte att matematik fortfarande betraktas som kultur.

Symmetrier studerades från början för sin egen skull. Inte minst är det symmetribetraktelser som legat bakom spådomen om higgspartikeln.

Jag tror fortfarande inte att statistik och sannolikhetsteori kan vara en öppning till ett ökat matematikintresse hos barn och ungdomar. Dessvärre tror jag inte heller på den väg matematikdidaktiker slagit in på. Dessa har nu hållit på i omkring två årtionden med att implementera sina idéer. Det finns tydliga bevis på deras fullständiga misslyckande. Ändå får de hålla på att härja fritt!

Permalänk | Anmäl #14 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 14:02


Jag håller med om matematikens kulturvärde. Frågan är bara hur vi avgränsar matematik mot dess s.k. applikationer. Stora matematiker var fram till 1800-talet också skarpa i fysik. Det är betydligt lättare att förstå den sk "rena" matematiken om man studerar de matematiska och utommatematiska aspekterna tillsammans.

Den sk "rena matematiken" konstruerades som en renodling under 1800-talet och den är svår att ta till sig för många som inte kan abstrahera till a och b, x och y. Euklides geometri har man lärt ut med stöd av figurer i mer än 2000 år men även den är mycket svår om man bortser från figurerna som stöd för tänkandet.

Tyvärr är akademiska matematiker ganska fantasilösa och moståndare till ett bredare matematikbegrepp. På den tekniska högskola där jag forskade och undervisade fick vi bakläxa på vår matematikutbildning av kvalitetsgranskningen eftersom vi integrerat den med programvaruteknik. Nej matematiken skulle läras ut ren, inte besmutsad med sina tillämpningar.

Så får man också en massa pedagogiska haverier eftersom den rena matematiken är svår för många att ta till sig, även bland teknologer.

Matematikens pedagogik är alldeles för viktig för att lämna åt matematiker!

Permalänk | Anmäl #15 Bertil Rolf, 2012-07-30, 17:49


På grundnivå måste det vara matematiklärare eller matematiker som undervisar i matematik och på högre nivå bör det vara matematiker. Jag har sett alltför många exempel på resultatet då man integrerar matematiken med tillämpade ämnen, som elektronik. Det brukar leda till att matematiken som lärs ut består av tumregler. Någon förståelse blir det aldrig.

Visst kan matematik vara svårbegripligt ibland. Ett exempel är abstrakt algebra. Alla framställningar brukar börja med ickekommutativ gruppteori, alltså något helt nytt för de allra flesta. Vidare brukar även exemplen man ger vara sådana att även de är helt okända fenomen för studenterna. Ofta är det möbiustransformationer som utgör det första exemplet man möter. Tröskeln att ta sig över upplevs vanligtvis som mycket hög.

Jag har många gånger föreslagit att man skulle börja med kommutativ algebra i form av abelska grupper istället. Det enkla exempel jag tycker man kan inleda med är att "räkna med slutsiffran" hos de naturliga talen 0, 1, 2, 3 ... osv. Denna synnerligen enkla metod leder raskt fram till många viktiga egenskaper hos grupper och man kan även exemplifiera begrepp som ringar, kroppar, ideal mm. Det är faktiskt möjligt att göra detta redan under de allra första skolåren. Man kunde i alla fall ge framgångsrika elever utmaningar inom dessa områden istället för att låta dem sitta osysselsatta och håglösa då de svagare eleverna får handledning. Men, pedagoger och didaktiker anser sig veta bäst och därmed förblir det som det är. Att förnedra sig genom att diskutera med en matematiklärare nedlåter man sig tydligen inte till.

Permalänk | Anmäl #16 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 18:57


Bäste Arne S.

Roligt att vi delar entusiasmen för matematik. Men jag är skeptisk mot Dina "måste", "bör" och "brukar". Var snäll och ge mig lite forskningshänvisningar istället för allmänna tyckanden och lösa generaliseringar från egen erfarenhet.

Här en fråga: Tror Du att begreppet "matematik" är en gång för alla fixerat? Personligen anser jag att det har förändrats. Newton var både matematiker och fysiker. Men vad som ägde rum på 1800-talet var att matematiken renodlades och skildes från sina tillämpningar, vilket gör den elegantare som forskningsområde men mer svårtillgänglig utom för en liten, entusiastisk elit.

Det måste därför vara möjligt att diskutera hur vi ska avgränsa det som undervisas i ämnet "matematik" istället för att ta för givet det som av en historisk tillfällighet råkat kallas "ren matematik" av forskningsskäl.

Matematik genomsyrar stora delar av vår kunskap. Därför är det en poäng om den kan läras ut med de exempel den genomsyrar, inte som rent destillat, fritt från den verklighet den hjälper oss se. Så var också matematiken ungefär fram till 1800-talets mitt.

Jag menar alltså att den rena matematiken som forskningsgren är tjusig, men att den kan vara alldeles felaktig som utbildningsideal på alla nivåer utom doktorandnivå eller dess närhet.

Tyvärr är det en mängd tjänster som hänger på att man undervisar "ren" matematik skild från "tillämpningar". Så det lär vara politiskt omöjligt att lära ut en matematik där flertalet studenter ser det meningsfulla i ämnet.

Jag uppskattar iofs engagerade matematiklärare som försöker mildra tokeriet med avgränsningen av matematikämnet. Men problemen är oerhört mycket större än att de kan kureras med några pedagogiska genvägar till den rena matematiken.

Permalänk | Anmäl #17 Bertil Rolf, 2012-07-30, 20:02


Hej Arne! Jag delar helt din uppfattning om matematikens vittomfattande betydelse. Ett välkänt faktum i många kulturer - dock inte vår svenska modell-kultur.

Och visst är, som Gunnar Claesson påpekar, urspårningen av matematikundervisningen i vårt land - liksom de flesta andra utbildningsområden - ett resultat av politisk ideologi. Något som tyvärr kommer att ta mycket lång tid att reparera.

Jag påminner mig ett inlägg i SvD 1997 av fil dr Anders Vretblad. Han skrev 1985 en bok för sina nybörjare i matematik vid Uppsala Universitet. Vid en utvärdering 1996 betraktade många studenter denna bok som "oläsbar", det vill säga alldeles för svår för dem. - I samband med lansering av en engelskspråkig version för Europa fick Anders Vretblad från ett internationellt välkänt förlag svaret att boken var alldeles för elementär för att användas på högskolenivå - den ansågs ligga på gymnasienivå. - Från Australien kom ett förslag att använda boken på nybörjarnivå: några onödiga kapitel kunde dock tas bort och några avsnitt, som vid svenska universitet tillhör fjärde eller femte terminens stoff, borde tillfogas! - Nog är det något som har gått snett i vår svenska modell-matematik!

Apropå livsnjutare vill jag citera vad min matematiklärare på Vasa HAL i Göteborg i slutet av 40-talet, lektor Ragnar Nylén sa en gång: "Finns det något skönare än att en lördagskväll få sjunka ner i en bekväm fåtölj och tänka på FAKTORTEOREMET!"

Permalänk | Anmäl #19 Sven Borg, 2012-07-30, 20:43


Bäste Doktor Murke

Någon forskning beträffande ”måste”, ”bör” och ”brukar” kan jag inte hänvisa till. Jag stöder mig på mina egna och mina kollegers erfarenheter. Enligt dessa har inga teknologer riktigt förstått den matematik de endast kommit i kontakt med via tillämpningar. Det kanske räcker med nöd och näppe, men man får inte ha några överdrivna förhoppningar om något annat. Själv tycker jag dock att ambitionsnivån kunde vara något högre.

Begreppet ”matematik” kan knappast anses vara fixerat. Jag tror inte att något annat ämne har lika många forskningsfronter som just matematik. Alla nya rön kommer naturligtvis att bli en del av matematiken. Så torde det vara med de flesta ämnen. Relativitetsteori och kvantmekanik ingår numera i fysiken, vilket ju inte var fallet på Newtons tid.

Givetvis måste matematik läras ut genom exempel. När man sett tillräckligt många exempel på något i matematiken kan det vara dags att abstrahera och ge en definition. Detta var just vad jag menade med min kritik av den sedvanliga framställningen av algebra i en tidigare kommentar. Beträffande just algebra börjar man av tradition med tidigare helt obekanta definitioner och introducerar samtidigt flera nya beteckningssätt. Sedan följer ett antal abstrakta satser och därefter brukar man ge några exempel som studenterna inte heller känner till sedan tidigare. Under sådana omständigheter är det en verklig prestation att klara en algebrakurs.

Visst brukar matematiktjänster vid universitet och högskolor vara rubricerade med en viss inriktning. Även om rubriceringen innehåller ord som ”speciellt beräkningsmatematik” eller ”tillämpad matematik”, så anser jag inte att det finns några skarpa gränser inom matematiken.

American Mathematical Society, AMS, har dock klassificerat matematiken och funnit att den kan delas upp i ca. hundra underrubriker. (Jag minns inte antalet. Jag har för mig att man uppdaterat indelningen ganska nyligen.) Se dessutom gärna denna artikel.
http://www2.math.uu.se/~kiselman/vadmatematik.html

Permalänk | Anmäl #20 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 20:53


Arne S, tack för ett ärligt svar som inte döljer att det finns problem med den historiska ämnesavgränsningen i förhållande till tillämpad matematik (eller jag skulle hellre säga integrerad matematik, där någon ren matematik ännu inte skiljts ut.)

Vad som slog mig då jag för några år sedan läste på om matematikens pedagogik, var hur nytt området var och hur obestämda dess rön. Vi får nog båda medge att vad och hur man undervisar matematik är ganska öppet.

Dock är det ett faktum att matematik idag fungerar som ett slags åsnebrygga där de som saknar en särskild abstraktionsförmåga tenderar att misslyckas. Det skapar ett slags matematiskt handikapp, som nog bekymrar alla som delar vår syn på matematikens värde.

Man kunde försöka med att ändra VAD som undervisas, alltså ämnesavgränsningen, snarare än HUR, dvs nya metoder att presentera den rena matematikens stoff. (Det senare är Ditt förslag, jag tycker inte att det är fel. Men väl otillräckligt.)

Detta är innebörden i mitt förslag att undervisa integrerat i de problem som lett till matematiseringen av området samt en del resultat av vikt och deras motivering.

Nackdelen är, som Du inser, att man tappar något av matematikens systemaspekt där teoremen ordnas som ett pärlband efter axiom och definitionerna. Visst så är det, men om flertalet ändå år dömda att aldrig nå denna abstrakta, sköna värld, så är det väl dock bättre att de kan se sin värld genomlysas av matematik?

Bästa hälsningar

Permalänk | Anmäl #21 Bertil Rolf, 2012-07-30, 21:44


Bäste Doktor Murkeigen

Matematikpedagogikens och matematikdidaktikens ”rön” är förvisso obestämda. De spretar åt så många olika håll att om man skulle försöka hitta deras gyllene medelväg vore det detsamma som att inte göra någonting.

Även jag har synpunkter på vad matematikundervisningen borde handla om, såväl inom skolan som inom högskolan. Jag skulle gärna vilja se en ”matematisk översiktskurs” på båda dessa nivåer. Matematikkurserna är nu ofta mycket fragmentariska, där sambanden mellan olika moment så gott som aldrig betonas. Naturligtvis borde även sambandet med matematikens tillämpningar framhävas i en sådan kurs.

Några matematiklärare vid KTH anordnar ibland ”matematikpromenader” i Stockholm. Ett av syftena med dessa är att försöka påvisa hur mycket tillämpad matematik vi hela tiden omger oss med. En intressant uppgift att fundera över är hur många saker i vår omgivning som inte skulle finnas om den matematiska utvecklingen hade stannat av vid den ena eller den andra tidpunkten. Vidare kunde man fundera på vad som i så fall skulle ha funnits istället. Mobiltelefoner bygger bla. på signalkomprimering vilket handlar om ganska modern matematik. Telefonkioskerna hade alltså varit fler utan mobiltelefoner. Bankomater bygger på krypterade signaler, där man för bara några årtionden sedan kom på idén att implementera ett äldre matematiskt rön, nämligen Eulers sats. Utan bankomaterna hade bankköerna varit ännu längre. Osv.

Permalänk | Anmäl #22 Arne Söderqvist, 2012-07-30, 22:34


Vi behöver inte utbilda alla till matematiker. De flesta klarar livet med små eller inga matematikkunskaper. Däremot är det, som jag tidigare skrivit, bra om folket kan sin vardagsmatte och kan se igenom statistiska lögner

Däremot behöver vi ett antal duktiga matematiker. Så rätt väg måste vara att backa bandet och ge begåvningarna en chans att utvecklas. Alla får inte plats i landslaget i fotboll, och alla får inte plats i den matematiska eliten, det ena är inte märkvärdigare än det andra.

Så sänk antalet utbildningsplatser på högskolan och höj kraven istället! Återinför uppdelningen i allmän och särskild kurs, och krydda detta med mattegymnasier - precis som det finns musik- eller idrottsgymnasier!

För övrigt uppskattar jag att artikelförfattaren deltar i diskussionen.

Permalänk | Anmäl #23 Gunnar Claesson, 2012-07-31, 07:02


Statistik är i sig mycket enkelt att lära ut och för elever att lära in, om man gör som vi fick lära oss på Tornhagsskolan i Linköping under Eve Malmqvists tid som rektor från 4:e klass:

Börja med statistik i geografi på SO-lektionerna. Mycket illustrativt och omedveten förståelse fås om man som vi fick två uppgifter för varje landskap/land/världsdel:

På 1 cm rutade papper fick vi markera (färglägga) fält där vi först ritat en ram som motsvarade Sveriges/landets yta alt. Sveriges/världens befolkning som helhet. Fälten som färglades motsvarade den yta som respektive landskaps/lands yta alternativt antal innevånare.

Nästa steg var att göra två skilda saker på samma papper:
rita stapeldiagram (bra för att lära sig läsa av diagram)
sätta upp matematiskt tal där de färgade fälten skrevs över bråkstrecket och den totala ramens antal fält under.
Svårare än så var det inte att få en första insyn i division respektive statistik.

Sedan involverades teckningslärare från årskurs 6 i att lära oss rita in punkter på en kurva. Dvs vi fick lära oss att dra en kurva med hjälp av ritverktyg utifrån inprickade punkter där 'benen' utgick från origo som vi klart fick lära oss vad det var.

Därefter introducerades vanlig fotbollsstatistik samtidigt som vi fick börja med enkel statistik i matematik.

Använde där möjlighet gavs metoden själv som SO-lärare (omskolad från början systemprogrammerare) innan 2 olyckor och 1 överfall pga ständig värk och svårigheter att gå, vilar stor del av dagen för att orka, gjorde lärararbete omöjligt)

Det finns i verkligheten få jobb där matematiska kunskaper över grundskolan inte behövs. Men människor tänker inte på att de använder sig av matematik i sin dagliga verksamhet. Där kan skolan genom att lärare tar fram egna exempel från att handla i affär till att sköta en hushållskassa eller annat göra mycket.

Permalänk | Anmäl #24 Inger E Johansson, 2012-07-31, 09:29


"De flesta klarar livet med små eller inga matematikkunskaper."
Ja, man kan ta sig från vaggan till graven utan att veta särskilt mycket. Min artikel går ut på att man kunde få uppleva mer under den resan.

Elementär statistik ska naturligtvis ingå i allmänbildningen. Att genomskåda felaktiga påståenden formulerade med statistik är givetvis viktigt. Likaså att kunna avgöra när orsakssamband föreligger. Till exempel är följande slutsats kanske aningen förhastad: "De flesta som avlider gör det i en säng. Alltså är det farligt att gå och lägga sig."

Nivågrupperad matematikundervisning i skolan vore ett enkelt och effektivt sätt att kunna tillvarata matematikintresset hos framgångsrika elever. Vill man inte att dessa ska "dra iväg" genom att få räkna i "nästa bok", så kan man stanna upp och ägna tiden åt moment jag beskrivit i tidigare kommentarer.

Nivågruppering är tydligen politiskt omöjligt i alla läger. Därför har man satsat miljarder kronor på att försöka få undervisningen att fungera på annat sätt. Sammanhållna klasser verkar vara en så helig princip att den får kosta hur mycket som helst. Men, "sammanhållningen" har ju faktiskt lett till precis motsatsen, alltså individuellt räknande. Detta har i sin tur ökat föräldrarnas okynne att åka på semester med barnen mitt under terminerna. Man vet ju att läraren tar vid där barnet befinner sig kunskapsmässigt när det återkommer. Detta gör också att läraren får än mindre med tid att ägna åt de motiverade eleverna. Men, en helig princip får tydligen kosta och den får tydligen leda vart som helst. Den är ju som sagt helig.

Pedagoger och didaktiker håller sig borta från all diskussion om matematikundervisningen, som vanligt. Vi som befinner oss "där nere", alltså vi matematiklärare på alla undervisningsnivåer, kan få käbbla fritt. Vi får hållas, medan de själva styr och ställer. Men deras uppgift är ju också att till varje pris motivera varför allt är gott och väl som det nu är och att finna bortförklaringar varje gång motsatsen påvisas.

Permalänk | Anmäl #25 Arne Söderqvist, 2012-07-31, 10:04


@#23,
det finns redan gymnasieutbildningar som fokuserar på matematik inom skolverkets s.k. gymnasie-spets-försöksprogrammet (se, http://www.spetsutbildningar.se). Tyvärr har detta försök ännu inte orsakat något större intresse från vare sig personer verksamma vid matematikinstitutioner i landet eller elever till gymnasieprogrammen. Här finns redan ett forum och en stor chans till självhjälp för matematikinstutionerna i landet- dvs att få upp intresset för matematikstudier bland gymnasister. Jag uppmanar alla matematiker att ta kontakt med en eller flera av gymnasierna som har spetsutbildningar och erbjuda dem era tjänster. Chansen till stora framtida vinster finns där, risken man löper är obefintlig, kostnaden är liten.

Permalänk | Anmäl #26 Sakanaga Arimasuka, 2012-07-31, 10:23


#14 Arne Söderqvist

Optionsteori är ett bra exempel på hur matematiken används inom ämnesområdet ekonomi. Alla matematiska modeller for hur optioner och derivat bor värderas bygger på den värdering som den underligande tillgången har. En forutsättning är att till exempel en akties värde är korrekt. Det problemet kommer man galant undan genom att påstå att alla aktier alltid är korrekt värderade, vilket enligt min mening är ett av de mest absurda axiom som har kommit i min väg. Alla aktier är alltid felaktigt värderade då en akties värde är ett nuvärde av alla foretagets framtida intäkter. En sådan bedomning är helt omojlig att genomfora per definition och rätenivåer, vinster, tidsaspekter medfor en komplexitet som slår det mesta. Dynamiska system med otaliga variabler kan vi helt enkelt inte hantera på ett vetenskapligt sätt. Spelteori och kostnads och intäktsanalys innehåller också mycket avancerad matematik som är oanvändbar, så tillämpningen är i hogsta grad viktig. De teoretiska sammanhngen kan givetvis vara riktiga i många fall men om de inte är tillämpbara i de sammanhang de är ämnade att användas så är det hela misslyckat.

Permalänk | Anmäl #27 Kristian Fredriksson, 2012-07-31, 19:34


Kristian Fredriksson

Jag håller med helt och hållet. Jag tänkte på Black&Scholes formel när jag skrev kommentaren. Förvisso är denna formel en mycket förenklad bild av verkligheten. Man får ju inte blanda ihop verkligheten med en modell av densamma.

Fysiken kan i allmänhet modelleras mer exakt med matematik än exempelvis ekonomi. Men det finns kaotiska system även i fysiken. Även där kommer matematiken till korta.

En fullkomligt exakt modell av stora delar av matematiken själv får man genom algebran.

Permalänk | Anmäl #28 Arne Söderqvist, 2012-07-31, 20:35


Hej Arne och ni andra,
jag vill dela med mig av en anteckning jag just skrivit som knyter an till ämnet:

https://www.facebook.com/notes/sverker-lundin/skolmatematikens-paradoxer...

Permalänk | Anmäl #29 Sverker Lundin, 2012-08-01, 13:03


Tack!
Det var mycket att läsa. Jag har ögnat igenom texten och jag kanske återkommer med synpunkter i sinom tid.
Tills vidare kan jag nämna att jag upplevde din text som tämligen abstrakt och delvis motsägelsefull.

Permalänk | Anmäl #30 Arne Söderqvist, 2012-08-01, 13:39


#28 Arne Söderqvist

Jag tänkte också på den liksom binomialmodellen. De fick Nobelpriset for något som är fulltändigt felaktigt på grund av att den bygger på att den underliggande tillgången anses vara korrekt värderad vid alla tidpunkter. Det är inte fallet.

Permalänk | Anmäl #31 Kristian Fredriksson, 2012-08-01, 15:23


Debatten har mest handlat om vad som är fel på matematikundervisningen och hur den skall kunna förbättras. När jag läste Arnes intressanta artikel hade jag nog väntat mig att den skulle visa att matematiken visst har många kulturella beröringspunkter och kanske t o m en andlig dimension. Forntidens stora civilisationer skulle inte ha varit möjliga utan matematiska kunskaper. Antikens judar var kanske inte några matematiska nydanare men det är intressant att notera att aritmetik spelar en viss roll i tolkningen av religiösa texter. Varje ord på hebreiska har också ett talvärde och genom att jämföra tillsynes disparata ord eller hela verser som har samma talvärde kan man tolka texten på ett annat sätt och få ut mera av den (på hebr "gematriot"). Så även inom religionen behöver vi kunna räkna. VSB.

Permalänk | Anmäl #32 Mose Apelblat, 2012-08-01, 20:00


Mose Apelblat

Tack för intressanta synpunkter!

Permalänk | Anmäl #33 Arne Söderqvist, 2012-08-01, 20:26


Visst håller jag med Dig.
Problemet med de här människorna är, att de saknar relevant utbildning från första början. Den svenska kunskapsirrelevanta skolan, har helt enkelt slutat lära folk att tänka själv. Matte är något nödvändigt ont, som man sitter av, eftersom betygen egntligen i alla fall är betydelselösa.
Man skall inte längre "mäta" folks kompetens, eftersom det är orättvist mot de mindre skarpa knivarna
Pythagoras anses för intellektuellt svårt idag, något som alla högstadie-elever kunde för 40 år sedan, då man var tvungen att lära sig att leda teoremet i bevis..
Dess praktiska konsekvens är oersättlig om man utgår från att det kausala tänkandets grunder finns i geometrin och dess ledande i bevis.
Visst blir man bedrövad över en del humanioramänniskors oerhört smala kompetens, vilket i sin tur skapar en kulturellt fattig värld, där allt det svåra uppfattas som onödigt...och lite nördigt.

Permalänk | Anmäl #34 Kristian Grönqvist, 2012-08-02, 13:12


Det som stör mig mest är att de politiker och tjänstemän som styr över skolornas matematikundervisning inte vill förnedra sig till att diskutera med någon matematiklärare. Trots sina ringa kunskaper anser de sig veta bäst.

När jag försvarar matematikens ställning kräver jag inte att matematik ska gynnas på andra ämnens bekostnad. Jag tycker att språk och historia också är viktiga ämnen. Men jag är kritisk till att det väl finns omkring hundra idrottsgymnasier i landet, där idrotter från bågskytte till ridning får breda ut sig på schemat, medan det bara finns ett enda matematikgymnasium, som dessutom då och då är i stöpsleven. Vidare förekommer ofta förslag på nya skolämnen, som "entreprenörskap" mm. som vanligtvis förväntas få utrymme genom nedskärning av andra ämnen, bla. av matematik.

Permalänk | Anmäl #35 Arne Söderqvist, 2012-08-02, 15:09


Sedan har naturligtvis våra massmedier ett stort ansvar för att en BILDAD debatt förs - och med BILDAD menar jag deltagande även av proffsen/akademikerna. Jag har ju läst i några av Arnes tidigare inlägg hur våra stora dagstidningar, som det tycks nästan metodiskt har refuserat debattinlägg och kommentarer från just lärarproffsen. Helt oacceptabelt!
På 50-, 60- och 70-talen var det mycket vanligare med debattinlägg av lärarproffsen.
Jag påminner mig här vad en känd socialdemokratisk politiker och debattör sa i en radiointervju för ett tag sedan i samband med en diskussion om de "nya"(?) sossarnas politik: Vi måste se till att göra oss av med AKADEMIKERFÖRAKTET inom våra led!
Jag har under sexton års utlandsarbeten i olika omgångar från mitten av 50-talet fram till början av 90-talet i de miljöer jag varit verksam (Latinamerika, Afrika), med mycket omfattande kontakter med folk ur många samhällsklasser och från många olika länder, aldrig stött på någon tillstymmelse till nedvärdering av akademiker - tvärtom!
Visst är det något särskilt - och inget särskilt upplyftande - med "den svenska modellen".

Permalänk | Anmäl #36 Sven Borg, 2012-08-02, 16:06


#36 Sven Borg

Kunskapsföraktet florerar inte endast inom politiken och Socialdemokraterna utan även inom religionen och finkulturen. Det märkliga är att det en gång i tiden var tvärt om. Socialdemokraterna ansåg utbildning och vetenskap vara mycket viktigt i dess ungdom. De ädla konsterna byggde alla på matematik och prästerskapet i Egypten, indusdalen och Mesopotamien forsökte förstå gudarnas avsikter med hjälp av matematik, astronomi och musik. Man insåg matematikens och fysikens centrala roll i vår värld redan då. Fördumningen har sedan fått frodas av någon anledning och numera visar man sin kompetens inom de här områdena genom att framhäva sin ignorans inom matematik och naturvetenskap. Tragiskt.

Permalänk | Anmäl #37 Kristian Fredriksson, 2012-08-02, 18:57


Något som jag då och då funderat på är att matematiken i skolundervisning hart bortkopplats från kulturen. Det handlar bara om att räkna och gärna så många tal som möjligt. Arne Söderqvist är inne på något intressant i sin artikel, nämligen att även undervisa om matematikens kulturella beröringspunkter. För att ta ett exempel bör sannolikhetslära på gymnasiet inkludera den mycket intressanta brevväxlingen mellan Pascal och Fermat.

Permalänk | Anmäl #38 Mats Hedlin, 2012-08-03, 12:14


De som har en 'postmodern' läggning och som motsätter sig naturvetenskapens idé om en verklighet som alla delar, ser matematiken som det instrument som naturvetenskapen använder för att stöda sanningsanspråken med. Matematiken blir då ett maktredskap som riktas mot humanisternas mera 'demokratiska' världssyn, att alla människor skall ha rätt till sin egen sanning och att alla sanningar har samma värde. Att svar kan kan klassas som rätt eller fel delar upp människor och skapar grund för ojämlikhet. Enligt vissa bevisar det här att matematiken till sin natur är fallocentrisk. ( ref. A: Sokal )

Permalänk | Anmäl #39 Evert Everhard, 2012-08-04, 07:40


När jag läser om Alan Sokal och "Sokal-affären", kommer jag att tänka på Rickard Wilsons doktorsavhandling "Fatilarkalkyl" från disputationen vid CTH den 4 juni 1955. Hela avhandlingen finns på nätet.
(En liten parentes ..., men ändå ...).

Permalänk | Anmäl #40 Sven Borg, 2012-08-04, 21:09


I radioprogrammet "Mytjägarna" i SR:s P1 6 augusti klockan 5:35 förklarades för dem som inte redan visste det vad Arkimedes princip går ut på. Särskilt mycket kunnigare kunde man dock inte bli, eftersom journalisten blandade ihop begreppen tyngd och massa.
http://sverigesradio.se/sida/sandningsarkiv.aspx?programid=3495

Då matematikern Lars Nysteds bok "Historien om metern och kilot" var nyutkommen och glädjande nog recenserades i radio påstods dock att "milli" betyder "tusen".

Hur många journalister känner till skillnaden mellan begrepp som kraft, energi, tryck och effekt? Enligt vad man tar del av i media tycks dessa saker vara olika ord för samma begrepp. Likaså brukar skillnaden mellan hastighet och acceleration där vara tämligen diffus.

Det tycks fortfarande vara ett stort steg kvar till "vardagskunskaper" i matematik och naturvetenskap hos väldigt många, inte minst bland dem som har som uppgift att sprida allmänbildning.

Permalänk | Anmäl #41 Arne Söderqvist, 2012-08-06, 09:14


Ännu en artikel som häcklar matematik har publicerats i en av landets större tidningar.
http://www.gp.se/nyheter/debatt/1.1042492-slopa-matematiken-i-gymnasiesk...

Som vanligt är det fullkomligt omöjligt att få in en svarsartikel.

Permalänk | Anmäl #42 Arne Söderqvist, 2012-08-23, 09:02


Mycket läsvärt!

http://www.maa.org/devlin/lockhartslament.pdf

Permalänk | Anmäl #43 Pär Sandström, 2012-08-28, 18:53

 


0 2315 visningar
Artikeln har inga översättningar