Arne Söderqvist om Matematik

Matematiklärare: Någon debatt om matematikens betydelse kan inte uppstå då besserwissrarna, som förringar matematiken, ofta bereds utrymme och får förbli oemotsagda.

Som matematiklärare har jag upplevt många påbud beträffande hur matematikundervisning ska bedrivas i klassrummet. När en gammal idé övergivits till förmån för en ny har det alltid varit utan någon som helst föregående utvärdering. Det har bara varit viktigt för någon pedagog eller didaktiker att få sitt nyaste påfund implementerat. Det har vid varje tillfälle hävdats att det nya sättet att undervisa skulle ge bättre resultat än tidigare.

I själva verket har färden gått i precis den motsatta riktningen. Detta faktum är nu belagt i många undersökningar, såväl inhemska som internationella, och går inte att förneka.

Svenska elevers matematikkunskaper har blivit så usla att man måst ta till nödåtgärder vid universitet och högskolor. Runt om i landet finns "tekniskt basår", "naturvetenskapligt basår", "startår" och allt vad det kallas, vid de akademiska utbildningsanstalterna. Avsikten är att reparera vad som brustit i skolan. Den ursprungliga tanken med alla dessa behörighetsgivande utbildningar var att de skulle vara temporära och avvecklas efter några års existens. Istället visar det sig att de behövs mer än någonsin, samtidigt som ambitionsnivån måst sänkas för att deltagarna ska kunna få någon behållning av undervisningen.

När de didaktiska metoderna så uppenbart genomgående misslyckats tenderar nu de styrande att ändra sin argumentation. Matematik anses inte längre vara viktigt, utan ämnets plats på skolschemat börjar istället ifrågasättas. Man kan skjuta på matematikundervisningen tills eleverna har bestämt sig för om de vill bli ingenjörer eller naturvetare eller om de istället vill söka till någon utbildning som inte är matematikintensiv. Man ändrar helt enkelt spelreglerna mitt under matchen!

Då och då förekommer artiklar i pressen där matematiken häcklas. Ett sådant exempel är en nyligen publicerad artikel i Dagens Nyheter.

Ytterst sällan tar man däremot in artiklar skrivna av någon som företräder matematiken. Någon debatt om matematikens betydelse i olika sammanhang kan inte uppstå då besserwissrarna som förringar matematiken ständigt får förbli oemotsagda.

Denna artikel var publicerad på Newsmill 2012-07-07 och fick följande kommentarer:

Arne Söderqvist. Matematiken har kallats "vetenskapens tjänare och drottning" och det vore ganska absurt att förringa den betydelse såväl ren matematik som möjligheter till kvantifiering i forskning, teknik och samhällelig analys kan bidra med. Jag är alltså i grunden positiv till ditt engagemang för matematik. Men att matematik är betydelsefullt ger i sig inga svar på vilken ställning och innehåll ämnet skall ha i skolan i olika stadier och program. Ämnets status är knappast hotat, tvärtom, ämnet har fortfarande en ställning som symbolen för studiebegåvning och dess ställning i nya läroplanerna har knappast försvagats. Dina motståndare är lite diffusa. Vem eller vilka är besserwissrarna"? Du borde peka på vem som sagt vad i dabatten.
Under 2010 gjorde jag för DEJA-delegationen inom utbildningsdepartementet en forskningsöversikt om läsfärdighet (SOU 2010:97, rapport XIII) och fann då att ingen enskild färdighet som mäts i skolresultat har större samband med totala skolresultat än läsfärdigheten. Läsfärdigheten har också starka samband med matematikfärdigheterna. Vi kanske skulle satsa på att sätta läsutvecklingen i fokus i skolan utan att för den skulle tumma på matematiken. De hör ihop och är delar av avancering i att utveckla sambandet mellan språk och tänkande till abstarktions- och översiktsförmåga: Bevare oss för något slags skyttegravskrig mellan "de två kulturerna" med motsättning mellan naturvetare och humanister.
Om jag har förstått rätt av de matematikdidaktiker jag har haft samröre med (innan jag drog mig tillbaka som pensionär) så är kungsvägen till goda matematikkunskaper framsteg i de allra tidigaste åldrarna. Det svårste vi alla har gått igenom var att i årskurs två när vi var åtta år förstå subtraktionen när entalssiffran i övre ledet är lägre än den i det nedre som till exempel 23 minus 17. Vi måste då låna från tiotalet. De barn som lär sig att förstå hur detta går till går lätt vidare och drabbas inte av matematikfobi. Om underviningen inte bygger på det redan erövrade blir matematiken ett spöke och det förstärks årskurs efter årskurs. Vi borde alltså satsa på tidig matematik med en individualisering med ansatsen att "alla ska med" och vi lägger då grunden för ett fortsatt självförtroende och engeagemang. vad tror du Arne är vägen till ett större intresse för ämnet?

Permalänk | Anmäl #1 Göran Linde, 2012-07-08, 00:19

Helt nyligen har journalisten Marcus Birro, redaktören Göran Greider och lärarutbildaren Per Acke Orstadius förringat matematikens ställning i olika artiklar. Länkar finns i början av min NM-artikel http://www.newsmill.se/artikel/2011/09/15/matematik-b-r-vara-en-del-av-a.... Det som fått mig att skriva min artikel ovan är den DN-artikel som publicerades för en vecka sedan. (Se länken i min artikel obvan.)

Hur man kunde göra för att öka matematikintresset har jag beskrivit i NM-artikeln http://www.newsmill.se/artikel/2010/04/13/utnyttja-barnens-nyfikenhet-oc....

De flesta betraktar matematik som ett hjälpämne till andra vetenskaper och som något gemene man måste veta litet om för att kunna klara vardagsbestyr, som att hålla kontroll på inkomster och utgifter. Jag har däremot aldrig sett någon hävda att en matematisk allmänbildning kunde ge ökad livskvalitet. ”Gullviva, mandelblom, kattfot och blå viol” finns enligt Evert Taubes visa med bland ängens blommor. Känner man igen blommorna och vet vad de kallas får man en rikare naturupplevelse än om man bara vet att det är fråga om just ”blommor”. Den som hör ett musikstycke och känner igen detta och kanske till och med vet vem kompositören är lyssnar intensivare och får en större musikalisk behållning än personer som bara konstaterar att det är ”musik” som hörs. Att rusa igenom ett museum och bara konstatera att där finns diverse gamla föremål, utan att förstå något om deras sammanhang, får ringa behållning av sitt museibesök. Jag hävdar att även vissa grundläggande matematikkunskaper faktiskt kunde vara berikande genom att man uppfattar flera nyanser i tillvaron och får möjlighet att se saker ur nya synvinklar.

Några matematiklärare på KTH arrangerar emellanåt "matematikpromenader" i Stockholm med avsikten att peka på många olika saker med anknytning till matematik. Förvisso leder dessa promenader till vidgat synsätt och nya upplevelser. Jag rekommenderar starkt dessa matematikpromenader!

Permalänk | Anmäl #2 Arne Söderqvist, 2012-07-08, 05:55

Det är snarare språket som börjar bli oviktigt.

Att skilja en bilannons från en ledarsida har inget med språk att göra. Det handlar om basal logik.

Allt mer idag handlar om teknologi och det blir bara mer och mer. Snart kommer översättningsprogram vara så effektiva att du kommer kunna översätta i praktiken alla språk till ditt hemspråk omedelbart och utan problem.

Först blir det text-till-text men så småningom så blir det text-till-tal och sedan det omvända.

Att kulturvänstern rasar mot matematik bevisar bara återigen hur teknikfientliga de är, hur isolerade de är i sina galenskaper.

Jag tror inte någon förstår hur oerhört skadligt kulturvänstern har varit för Sverige förrän om kanske 10-15 år.

Att regeringen storsatsar på matematiken är väldigt positivt.

Permalänk | Anmäl #3 Anna Hellsén, 2012-07-08, 09:13

#3
Om språket är så oviktigt, försök skriva ditt inlägg i siffor. I sovjetunionen betonade man också matematiken över språket, eftersom man självfallet ville ha raketingenjörer o.dyl., men inte dissidenttyper som läser böcker och kan engelska. Är det den linjen som "kulturhögern" nu har anammat?

Självfallet är matte viktigt, men frågan är hur man får barnen att lära sig detta viktiga ämne, om man nu har misslyckats med det. Att bara sjunga matematikens lov hjälper ju inte.

Jag tror att en grundläggande genomgång av matematikens begrepp och symboler vore bättre att börja med än själva räknandet, precis som det självfallet är bättre att lära sig alfabetet innan man ska börja läsa texter.

Permalänk | Anmäl #4 stefan hallgren, 2012-07-08, 09:40

#3

”Jag tror att en grundläggande genomgång av matematikens begrepp och symboler vore bättre att börja med än själva räknandet, precis som det självfallet är bättre att lära sig alfabetet innan man ska börja läsa texter.”

Jag håller helt med om detta, men jag är ändå inte riktigt säker på om vi har samma synsätt.

Det mest intuitiva inom matematiken är mängdbegreppet. Att introduktionen av mängdlära misslyckades i skolan på 1970-talet beror på att man enbart tränade mängdformalismen utan att utnyttja potentialen i begreppet ”mängd”. Man avstod tex. från att introducera ”ekvivalensklasser”, ”funktioner”, ”bijektioner” mm. Det vimlar av goda triviala exempel på sådana begrepp och man kunde ha lagt grunden till senare fördjupningar genom att påvisa att dessa saker faktiskt förekommer flitigt i vardagen.

Om alla varor i en butik hade olika priser och man vet Kalle har köpt någonting för 18 kronor, så kunde man lista ut vad Kalle köpt. Detta är ett exempel på en bijektion. Men, normalt har flera olika varor samma pris. Därmed är det inte möjligt att dra motsvarande slutsats. Någon bijektion föreligger alltså inte i detta fall.

Man kunde införa den enklaste formen av ”modulär aritmetik”, nämligen att bara räkna med slutsiffran hos de naturliga talen 0, 1, 2, 3, … . Detta ger en potential till utvidgning. Bla. kommer man tex. fram till ”Kinesiska restsatsen”, dock med litet ansträngning. Just räkning med slutsiffran kan ge goda exempel på matematiska begrepp som ”grupp”, ”ring”, ”ideal” mm., dvs. det kunde fungera som en introduktion till abstrakt algebra, i all sin enkelhet.

Är mängden av fem myror ”större” än mängden av fyra elefanter? Svaret är inte självklart, utan beror på det matematiska begreppet ”mått”. Använder man ”antalsmåttet” är det så, men man kunde exempelvis lika gärna använda sig av vad de båda mängderna väger. Man kunde fundera över måttet hos olika delmängder till de båda mängderna och man kunde också fundera över måttet hos två sammanslagna delmängder (unionen av delmängderna). Man är därmed det matematiska begreppet ”sigmaalgebra” på spåren.

Det är mycket litet ”räkning” involverat i ovanstående förslag. De handlar istället om matematiska begrepp och förståelsen av dessa. Vardagliga fenomen blir matematiskt belysta och kan betraktas ur nya synvinklar, samtidigt som de ger potential för utvidgning och utgör inkörsport till mer matematik.

Ovanstående är bara ett litet stickprov på vad man skulle kunna göra!

Permalänk | Anmäl #5 Arne Söderqvist, 2012-07-08, 10:34

#5
Vi är nog inne på liknande tankespår. Min poäng, som jag tycker att du illustrerar med dina exempel, är att matte faktiskt innehåller ord, ganska många och ofta till synes "svåra" ord som i sig själva kan verka avskräckande, om de inte förklaras ordentligt. Sedan tillkommer alla symboler i ekvationerna. Allt detta måste man ju egentligen lära sig innan man kan börja räkna på ett meningsfullt sätt.

Permalänk | Anmäl #6 stefan hallgren, 2012-07-08, 12:53

Det är fullkomligt növändigt att försvara eller kanske ännu hellre påpeka matematikens ställning i omvärldsförståelsen. Nutiden kännetecknas idag i förvånansvärt hög grad av kulturknuttar som skryter med sin oansenliga bildning och obefintliga kunskap. En kategori av misslyckade elever som vill skapa en värld för misskyckade elever och marginalisera de lyckade...
En kanske inte alltigenom hållbar strategi...

Permalänk | Anmäl #7 Kristian Grönqvist, 2012-07-08, 13:09

Matematikföreträdare? Hur kan man företräda matematik? Hur utses man? Av vem? Vad finns det för andra företrädare? Svenska, hemkunskap? Det borde finnas någon företrädare för hemkunskap, det har ju alltid ansetts vara kunskapens, om inte drottning, så i varje fall dess kammarjungfru. Hur skulle de stora matematikerna kunnat verka om ingen bakat deras kanelbullar!?

Permalänk | Anmäl #8 Tommy puma, 2012-07-08, 13:09

Bra artikel! Ifall Sverige är intresserat av att även i framtiden ha ingenjörer och ekonomer, som har kompentens, och kan skapa produkter, massproducera dem och sälja dem, så är matematikkunskaper essensiella. Alla kan inte leva av turism, events, krogar och restauranger, även om den M-ledda regeringen tydligen bara "ser" dessa branscher och deras behov.

All utveckling inom drivmedel och fordon försöker man snarast suppressera... Man tror att politiker och deras tjänstemän på såväl kommunal som statlig nivå ska reglera utvecklingen in i minsta detalj... Denna tendens är snarast gammel-socialistik, och det är mycket märkligt att företrädare för M, C, Fp och Kd sysslar med detta...

Permalänk | Anmäl #9 Andreas Eklund, 2012-07-08, 19:40

Kan bara säga, stå på er.

Permalänk | Anmäl #10 Mats F Eriksson, 2012-07-09, 10:05

Som nämnts i en kommentar så räcker det inte att sjunga matematikens lov. Det gäller att ställa frågorna om hur självförtroende och intresse för matematik byggs upp och därtill matematikdidaktiska frågor för att elever ska avancera bit för bit. Jag nämnde i första kommentaren att det finns ett starkt samband mellan läsfärdighet och prestationer i matematik. Det är ett statistiskt samband som inte säger någonting om mekanismerna. Låt oss se lite närmare på dem. När vi lär oss läsa så lär vi oss först mekanisk avkodning, att koppla bokstav till språkljud. I nästa steg börjar vi automatisera avkodningen och med hjälp av ordföråd och kontextkännedom behöver vi inte ljuda oss igenmom bokstäverna utan ser ändå vad det står och riktar tankarna mot innehållet, inte mot bokstäverna. I matematik är det lite annorlunda. Avkodningen automatiseras inte lika lätt utan vi behöver hela tiden veta exakt vad varje symbol i en formel har för instruktionsvärde. Detta är matematikens motsvarighet till mekanisk avkodning i läsning. För vana matematiker går detta automatiskt. För elever som kör fast är problemet att matematiklärare inte kollar upp om eleverna uppfattar instruktionsvärdet i varje detalj i formelen. Jag talar lite grand av egen erfarenhet men också med stöd i didaktisk forskning om "fastkörning i matematikämnet. Mina kunskaper i ämnet är begränsade till vad som krävts i tentamina i formell logik i teoretisk filosofi, i funktioner i nationalekonomi och i testteori i den "spärrade psykologin" på sjuttiotalet. Min erfarenhet är att varje gång som det inte gled fram så spökade istruktionsvärdet i en liten sketen symbol i formelspråket. Jag tror att en större medvetenhet om detta hos mattelärare liksom andra didaktiska insikter är vägen till att skapa det självförtroende och det intresse som gynnar framstegen i matematik.

Permalänk | Anmäl #11 Göran Linde, 2012-07-09, 23:19

Ja håller med dig det är skrämmande vilken nonchalans och okunskap det visas gentemot mattematikens värde i de kulturmarxistiska rödgröna kretsarna. De verkar tro att alla vill gå estetiska linjer på gymnasiet och jobba med kultur. Hur skulle ett samhälle se ut då. De där gaphalsarna har ett helt obefogat för stort mediautrymme i Svenska dagspressen.

Permalänk | Anmäl #12 Andersx Carlsson, 2012-07-09, 23:38

Man kan introducera matematik för mycket små barn utan att alls använda några symboler.

Som jag nämnt i en tidigare kommentar kunde man börja med mängdbegreppet, vilket är mycket intuitivt.
Man kan faktiskt avgöra om olika mängder har samma "kardinalitet", dvs. om de "innehåller lika många saker", utan att man behöver kunna räkna. (Att man då stöder sig dels på det sk. "urvalsaxiomet" och dels på begreppet "bijektion" behöver man ju inte nämna från början.)
Man kunde dela in en mängd i ekvivalensklasser. Barn älskar vanligen att sortera saker efter olika indelningsgrunder och därmed har man exempel på detta begrepp.
Man kunde lätt åstadkomma "knutar", vilket är ett matematiskt begrepp. Kan man inte åstadkomma dem i verkligheten så finns bilder på Internet. http://blogg.umu.se/student-fanny-linderborg/2011/04/03/matematik-och-fo... Knutar är utomordentliga som utgångspunkt för sortering.
Man kunde låta barnen upptäcka symmetrier i planet. (Mängden av symmetrier i planet kan delas in i 17 ekvivalensklasser.) http://www.skolresurs.fi/files/Om%20symmetrier.pdf
Man kunde introducera begrepp som kongruens och likformighet genom att låta barnen leka med en pantograf. http://www.tz-bedarf.de/technischer-zeichenbedarf/pantograph/rumold-pant...

Allt detta är faktiskt matematik och inget av ovanstående kräver några matematiska symboler. Jag kunde komma med betydligt fler förslag. Man har börjat tala om att matematik borde ingå i daghemsverksamheten. Det håller jag med om, men alla förslag jag sett hittills har varit tafatta och fantasilösa.

Självfallet måste man så småningom introducera symboler i matematiken. Newton och hans samtida utnyttjade främst "retorisk matematik", dvs. de använde ofta (främst latinska) ord istället för symboler. Den "symboliska matematiken" gör att man lättare överblickar matematiska samband, men ett problem är att nybörjare anser att "man skriver så litet, fast man menar så mycket".

Jag kan också nämna att i många fall måste nödvändigtvis rutinräkning tränas innan man fått full förståelse för teorin. Ett sådant exempel är bråkräkning. Själv förstod jag inte bråkräkning fullt ut, förrän jag tragglat mig igenom boken "Grundlagen der Analysis" av Edmund Landau.

Permalänk | Anmäl #13 Arne Söderqvist, 2012-07-10, 06:44

Lyssna till Svenska Matematikersamfundets ordförande Mats Andersson:
http://sverigesradio.se/sida/default.aspx?programid=1650&sida=2
Länken finns tills vidare under bilden till artikeln "Olympiad i räkning".

Permalänk | Anmäl #14 Arne Söderqvist, 2012-07-11, 08:52

Hej Arne. Vsst finns det hur mycket roligt som helst inom diskret matematik som ungar kan roa sig med och som kan ge ingångar till matematikintrese och visst finns det väldigt mycket i matematik som kan hanteras mer verbalt än i sybolform och som kan ge förståelse för matematiska resonemng. MEN, och så är det, att den dag vi som inte har matematik som huvudintrese, utan ska tentera i olika discipliner med sambandsberäkningar, variansnalys, och signifikansprövningar eller funktionsgrafer eller annat, då prövas vi i konsten att hantera algoritmer med symboler. Detta sker oavsett hur mycket matematik man kan lära sig att förstå utan att hantera symboler. Det är bara så att tentamina ser ut så. Det är därför jag har skrivt i komentarerna om nödvändigheten att matematiklärare inser att förståelse för varje liten del i symbolspråket måste förklaras för vilket instruktionsvärde det har och om varje mattelärare tänkte på det så skulle inte så många halka efter och få en negativ intsällning till ämnet. För övrigt vill jag elogera dig för attdu står upp för matematikens betydelse. och så vill jag tillägga att få ämnen i skolan har så starka psykologiska effekter i fråga om självförtroende och dess motsats, motivation, attirbution etc. än matematik. Vägen till matematikintresse och en hög nationell nivå kräver att mattelärare beaktar alla de motivations- och attributionsprykologiska aspekterna av undevisningen. som påverkar dess resultat.

Permalänk | Anmäl #15 Göran Linde, 2012-07-12, 00:33

Bäste Göran Linde!

De idéer jag presenterat i mina kommentarer ovan var avsedda att visa hur riktigt små barn kunde få komma i kontakt med matematik. Man behöver varken kunna läsa eller skriva för att ägna sig åt aktiviteter av dessa slag. Målsättningen är naturligtvis inte att alla barn ska bli matematiker. Men med några matematiska aspekter på tillvaron kan denna te sig intressantare och begripligare. Tyvärr missar man många möjligheter, som det nu är. Se artikeln "Utnyttja barns nyfikenhet och upptäckarglädje" http://www.newsmill.se/artikel/2010/04/13/utnyttja-barnens-nyfikenhet-oc...

Introduktionen av den symboliska matematiken innebar en gång i tiden ett stort framsteg. Tyvärr skymmer symbolerna ofta de bakomliggande matematiska idéerna. Alltför många elever och teknologer uppfattar matematiken som ren formelexercis och har lämnat all ambition att förstå därhän. Ambitionen är reducerad till att klara kommande tentamensskrivning. Den vanligaste frågan jag fått i samband med min undervisning är ”Kommer det här på tentan?”

Ett område där man av tradition lämnat alla försök till förklaring är statistik. Tiden anses inte medge några förklaringar till vad exempelvis en ”frihetsgrad” är eller varför man kan beräkna en sannolikhet genom att integrera. Målet är att komma fram till begrepp som ”konfidensintervall”, ”hypotesprövning” och ”variansanalys” inom en snäv tidsram.

De flesta matematiska moment hänger samman. Exempelvis har kursen ”Linjär algebra” och kursen ”Transformationsteori” mycket gemensamt, men detta faktum framhävs nästan aldrig i framställningarna. En kurs i ”Matematisk överblick” borde finnas såväl i skolan som på KTH.

Permalänk | Anmäl #16 Arne Söderqvist, 2012-07-12, 04:08